Calcul mental CM2 — Semaine 23, Lundi

§1 - DÉCOUVERTE PAR MANIPULATION
👨‍🏫 VOUS : "Maintenant, le cœur de la séance : MULTIPLIER une fraction par un entier.
Question : que signifie 3 × 2 ?"
🧒 ÉLÈVES : "2 + 2 + 2 = 6 !"
👨‍🏫 VOUS : "Exact ! Multiplier par 3, c'est RÉPÉTER 3 fois.
Même logique avec les fractions ! 3 × (2/5) signifie 'prendre 2/5, trois fois'.
Je vais le montrer avec des barres." [Vous dessinez 3 barres identiques divisées en 5 parts, avec 2 parts coloriées dans chacune]
👨‍🏫 VOUS : "Barre 1 : j'ai colorié 2/
5.
Barre 2 : encore 2/
5.
Barre 3 : encore 2/
5.
Au total, combien de parts coloriées ? Emma ?"
🧒 EMMA : "2 + 2 + 2 = 6 parts."
👨‍🏫 VOUS : "Oui ! Et ces parts, ce sont des... ?"
🧒 EMMA : "Des cinquièmes !"
👨‍🏫 VOUS : "PARFAIT ! Donc j'ai 6 cinquièmes = 6/
5.
On vient de calculer 3 × (2/5) = 6/
5.
Nathan, peux-tu transformer 6/5 ?"
🧒 NATHAN : "6/5 = 5/5 + 1/5 = 1 + 1/5 = 1 et 1/5."
👨‍🏫 VOUS : "EXCELLENT ! Le résultat est plus grand que 1 entier.
C'est normal quand on multiplie des fractions !" §2 - RÈGLE FORMALISÉE [Vous écrivez au tableau :]
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MULTIPLICATION FRACTION × ENTIER
n × (a/b) = (n × a) / b
On MULTIPLIE le numérateur par n
Le dénominateur reste INCHANGÉ
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👨‍🏫 VOUS : "Regardez la formule : pour multiplier une fraction par un entier, on multiplie le NUMÉRATEUR et on garde le DÉNOMINATEUR.
Chloé, explique pourquoi ?"
🧒 CHLOÉ : "Parce qu'on répète la fraction.
Si on a 2/5 trois fois, on a 3 fois 2 parts, donc 6 parts.
Mais les parts restent des cinquièmes, donc le dénominateur ne change pas."
👨‍🏫 VOUS : "MAGNIFIQUE explication ! C'est exactement ça.
On augmente le NOMBRE de parts (numérateur), mais la TAILLE des parts (dénominateur) reste la même." §3 - VÉRIFICATION PAR ADDITION (S22)
👨‍🏫 VOUS : "On peut VÉRIFIER notre résultat avec ce qu'on sait de S
22. 3 × (2/5) = prendre 2/5 trois fois = 2/5 + 2/5 + 2/
5.
Hugo, calcule !"
🧒 HUGO : "2/5 + 2/5 + 2/5 = (2+2+2)/5 = 6/5."
👨‍🏫 VOUS : "PARFAIT ! On retrouve bien 6/
5.
La multiplication est un RACCOURCI pour l'addition répétée.
Au lieu de faire 2/5 + 2/5 + 2/5, on fait directement 3 × (2/5)." §4 - EXERCICES GUIDÉS AU TABLEAU
👨‍🏫 VOUS : "Pratiquons ! Premier exemple : 2 × (3/7).
Léa, viens au tableau."
🧒 LÉA : [
Au tableau] "Je multiplie le numérateur : 2 × 3 = 6.
Le dénominateur reste 7.
Donc 2 × (3/7) = 6/7."
👨‍🏫 VOUS : "PARFAIT ! Deuxième exemple : 4 × (1/5).
Tom ?"
🧒 TOM : "4 × 1 = 4.
Le dénominateur reste 5.
Donc 4 × (1/5) = 4/5."
👨‍🏫 VOUS : "Excellent ! Troisième exemple, plus corsé : 3 × (2/4).
Sophie, calcule ET simplifie !"
🧒 SOPHIE : "3 × 2 = 6.
Donc 3 × (2/4) = 6/
4.
Je simplifie : 6/4 = 3/2 = 1 et 1/2."
👨‍🏫 VOUS : "MAGNIFIQUE ! Tu as pensé à simplifier ET à transformer en nombre mixte.
C'est ce qu'on attend !" §5 - LIEN AVEC PROPORTIONNALITÉ (P3)
👨‍🏫 VOUS : "Ces multiplications, vous les connaissez déjà ! En P3 Semaine 20, on faisait de la proportionnalité.
Par exemple : si 1/4 de pizza coûte 3€, combien coûtent 3/4 ? Zoé ?"
🧒 ZOÉ : "3/4 c'est 3 fois 1/
4.
Donc 3 fois 3€ = 9€."
👨‍🏫 VOUS : "PARFAIT ! On vient d'utiliser une multiplication de fraction ! 3 × (1/4) de pizza, ça coûte 3 × 3€.
C'est de la PROPORTIONNALITÉ déguisée !" §6 - BAR MODELING POUR VISUALISER
👨‍🏫 VOUS : "Dernière technique : le bar modeling pour VOIR la multiplication.
Problème : 4 × (2/5).
Je dessine 4 barres de 2/5." [Vous dessinez 4 barres avec 2/5 colorié dans chacune]
👨‍🏫 VOUS : "Total de parts coloriées : 2+2+2+2 = 8 parts.
Ce sont des cinquièmes.
Donc 8/5 = 1 et 3/
5.
La visualisation aide à COMPRENDRE avant de calculer.
Demain, on attaque la DIVISION !"
🎯 DIFFÉRENCIATION PÉDAGOGIQUE
🔹 ÉLÈVES EN DIFFICULTÉ :
• Manipulations concrètes OBLIGATOIRES : barres fractionnées, jetons colorés.
• Ne travailler qu'avec entiers 2 et 3, dénominateurs ≤ 5.
• Toujours vérifier par addition : 2×(1/3) = 1/3 + 1/3 = 2/
3.
• Bar modeling systématique avant calcul abstrait.
• Accompagnement individuel pour identifier numérateur et opération.
🔹 ÉLÈVES DANS LA NORME :
Objectifs : Maîtriser n×(a/b)=(n×a)/b avec n≤5 et dénominateurs ≤
10.
• Calculs avec support visuel puis progressivement abstraits.
• Simplification systématique des résultats.
• Transformer fractions impropres en nombres mixtes (7/5 = 1 et 2/5).
• Résoudre 2-3 problèmes contextualisés (proportionnalité, aires).
• Vérifier par addition répétée.
🔹 ÉLÈVES AVANCÉS :
• Travailler avec entiers jusqu'à 10 et tous dénominateurs.
• Multiplications donnant des résultats >2 : 5×(3/7)=15/7=2 et 1/
7.
• Problèmes complexes multi-étapes avec multiplications successives.
• Défi : Trouver toutes les multiplications donnant exactement 1 entier (2×(1/2), 3×(1/3), 4×(1/4), 5×(1/5), etc.).
• Anticiper division : "Si 2×(3/5)=6/5, alors 6/5÷2=?"

📝 PROBLÈME :
📚 Une bibliothèque achète des livres.
Chaque livre coûte 2/5 de l'enveloppe budgétaire mensuelle.
Questions : a) Si la bibliothèque achète 3 livres dans le mois, quelle fraction du budget mensuel cela représente-t-il ? b) Cette fraction peut-elle se simplifier ? c) Est-ce que le budget mensuel suffit pour ces 3 livres ? Justifier. d) Si l'enveloppe mensuelle est de 500€, quel est le prix d'un livre ?
✅ SOLUTION COMPLÈTE :
👨‍🏫 SOLUTION COMPLÈTE : a) Fraction du budget pour 3 livres : 1 livre = 2/5 du budget 3 livres = 3 × (2/5) = (3×2)/5 = 6/5 du budget
👉 Les 3 livres représentent 6/5 du budget mensuel. b) Simplification de 6/5 : 6 et 5 n'ont pas de diviseur commun (PGCD=1)
👉 6/5 est irréductible (déjà simplifié). c) Le budget suffit-il ? 6/5 = 5/5 + 1/5 = 1 + 1/5 = 1,2
👉 Les 3 livres coûtent 1,2 fois le budget mensuel.
👉 NON, le budget mensuel NE SUFFIT PAS : il manque 1/5 du budget (20%). d) Prix d'un livre : Budget mensuel = 500€ 1 livre = 2/5 de 500€ Prix = (2×500)/5 = 1000/5 = 200€ Vérification : 3 livres = 3×200€ = 600€ 600€ > 500€
✓ (cohérent avec question c)
✅ RÉPONSES FINALES : a) 6/5 du budget mensuel b) 6/5 est irréductible c) Non, il manque 1/5 du budget (20%) d) 200€ par livre
💡 ANALYSE : Problème riche mobilisant multiplication de fractions, fractions impropres (>1), proportionnalité, et raisonnement critique (vérifier si le budget suffit).
Excellent pour évaluer la compréhension conceptuelle de la multiplication de fractions.