Triangle base 14cm, hauteur 10cm, aire ? → (70 cm² car (14×10)÷2 = 70)
7.
Carré côté 10 cm, aire ? → (100 cm² car 10×10 = 100)
8.
Triangle base 16cm, hauteur 9cm, aire ? → (72 cm² car (16×9)÷2 = 72)
💬 DIALOGUE PÉDAGOGIQUE :
👨🏫 Enseignant : "Bonjour ! Hier nous avons travaillé sur les carrés et rectangles.
Aujourd'hui, nouvelle forme : les TRIANGLES ! L'aire d'un triangle, c'est un peu plus compliqué.
Qui peut me rappeler ce qu'est un triangle ?"
🧒 Élève 1 : "Une figure avec trois côtés !"
👨🏫 Enseignant : "Exactement ! Pour calculer l'aire d'un triangle, on utilise deux mesures : la BASE et la HAUTEUR.
La base, c'est un des côtés du triangle.
La hauteur, c'est la perpendiculaire qui va de cette base jusqu'au sommet opposé.
Regardez ce triangle que je dessine : voici la base (je trace en rouge), et voici la hauteur (je trace en bleu, perpendiculaire à la base)."
🧒 Élève 2 : "La hauteur, c'est comme une barre qui tombe à angle droit ?"
👨🏫 Enseignant : "Exactement ! La hauteur forme un angle droit avec la base.
Maintenant, voici la formule magique : Aire = (base × hauteur) ÷ 2.
Pourquoi diviser par 2 ? Parce qu'un triangle, c'est comme la MOITIÉ d'un rectangle ! Regardez : si je prends un rectangle 10×6 cm (aire 60 cm²) et que je le coupe en diagonale, j'obtiens deux triangles identiques de base 10 cm et hauteur 6 cm.
Chaque triangle a donc une aire de 60÷2 = 30 cm²."
🧒 Élève 3 : "Ah ! C'est pour ça qu'on divise par 2 !"
👨🏫 Enseignant : "Exactement ! Triangle = moitié de rectangle.
La formule : A = (base × hauteur) ÷ 2.
Prenons un exemple : base 8 cm, hauteur 5 cm.
Aire = (8×5)÷2 = 40÷2 = 20 cm².
Important : on fait d'abord la multiplication (8×5 = 40), PUIS on divise par 2.
Sortez vos ardoises, on s'entraîne !"
🧒 Élève 4 : "C'est parti !"
👨🏫 Enseignant : "Premier calcul : triangle base 10 cm, hauteur 6 cm, aire ? Calculez : d'abord 10×6, puis divisez par 2.
Montrez ! Super, 30 cm² ! Comment avez-vous fait ?"
🧒 Élève 5 : "10 fois 6 égal 60, divisé par 2 égal 30 !"
👨🏫 Enseignant : "Parfait ! Vous avez bien respecté l'ordre des calculs.
Continuons avec un autre triangle..."
STRATEGIE
8 min
CONCEPT CLÉ : L'aire d'un triangle est la moitié de l'aire du rectangle qui l'englobe : A = (base × hauteur) ÷ 2.§1 - Comprendre la formule du triangle L'aire d'un triangle se calcule avec la formule A = (base × hauteur) ÷ 2.
Cette formule peut sembler mystérieuse au premier abord, mais elle devient intuitive avec une bonne explication.
Imaginez un rectangle de longueur b (base) et largeur h (hauteur).
Son aire est b × h.
Si vous tracez une diagonale dans ce rectangle, vous le coupez en deux triangles identiques.
Chaque triangle a donc une aire égale à la moitié du rectangle, soit (b × h) ÷ 2.
Voilà d'où vient le "÷2" dans la formule ! Cette visualisation est fondamentale : faire dessiner aux élèves un rectangle 10×6 cm, calculer son aire (60 cm²), tracer la diagonale, constater qu'on obtient deux triangles, donc chaque triangle a une aire de 60÷2 = 30 cm².
Le triangle est comme "la moitié d'un rectangle".
Cette compréhension géométrique profonde évite la mémorisation mécanique et permet aux élèves de retrouver la formule s'ils l'oublient. §2 - Base et hauteur : définitions précises La BASE d'un triangle est l'un de ses trois côtés, qu'on choisit comme référence (n'importe quel côté peut servir de base).
La HAUTEUR correspondant à cette base est la perpendiculaire abaissée depuis le sommet opposé jusqu'à la base (ou son prolongement).
La hauteur forme toujours un angle droit (90°) avec la base.
Ceci est CRUCIAL : la hauteur n'est pas nécessairement un côté du triangle ! Par exemple, dans un triangle quelconque, la hauteur est souvent à l'intérieur du triangle, mais dans un triangle obtus, elle peut tomber à l'extérieur.
Pour un triangle rectangle, la hauteur coïncide avec un des côtés perpendiculaires.
En CM2, il faut systématiquement faire dessiner la hauteur en pointillés perpendiculaires à la base, avec le petit symbole d'angle droit.
Les élèves doivent bien identifier les deux mesures nécessaires (base ET hauteur) avant de calculer.
Faites des exercices où ils doivent repérer et mesurer la hauteur sur des triangles dessinés. §3 - Ordre des opérations dans le calcul Pour calculer l'aire d'un triangle avec la formule A = (base × hauteur) ÷ 2, il est important de respecter l'ordre des opérations.
Méthode recommandée : d'abord multiplier la base par la hauteur, PUIS diviser le résultat par 2.
Cette méthode évite les erreurs et correspond aux parenthèses dans la formule.
Certains élèves pourraient être tentés de diviser d'abord (par exemple diviser la base par 2), mais c'est incorrect et plus compliqué.
Insistez : "Multiplie d'abord, divise ensuite".
Pour les élèves à l'aise, on peut montrer que A = (b×h)÷2 = b×(h÷2) = (b÷2)×h, mais au CM2, mieux vaut s'en tenir à la méthode standard.
L'utilisation de la calculatrice peut être autorisée pour les divisions complexes, mais les élèves doivent comprendre le processus. §4 - Différencier triangle, carré et rectangle Après avoir vu carrés, rectangles et triangles, les élèves doivent pouvoir identifier rapidement quelle formule utiliser.
Carré : A = c² (un seul côté à mesurer, on le multiplie par lui-même).
Rectangle : A = L × l (deux dimensions différentes à multiplier).
Triangle : A = (b × h) ÷ 2 (base ET hauteur, puis diviser par 2).
Il est utile de faire des exercices mélangés où les élèves doivent d'abord identifier la figure, puis choisir la bonne formule, puis calculer.
Par exemple : "Figure 1 : carré de côté 8 cm.
Figure 2 : triangle base 10 cm, hauteur 7 cm.
Figure 3 : rectangle 12×5 cm.
Calculer les trois aires." Réponses : 64 cm², 35 cm², 60 cm².
Ces exercices développent la flexibilité mathématique et évitent les confusions.
Les élèves doivent aussi comprendre qu'un triangle a toujours une aire INFÉRIEURE à un rectangle de mêmes dimensions (car on divise par 2). §5 - Visualisation sur papier quadrillé Pour bien comprendre l'aire des triangles, la visualisation sur papier quadrillé est très utile.
Dessinez un rectangle 10×6 sur papier quadrillé (60 carreaux).
Tracez la diagonale : vous obtenez un triangle.
En comptant les carreaux (en comptant les demi-carreaux sur la diagonale), vous trouvez environ 30 carreaux, ce qui valide la formule (10×6)÷2 = 30.
Pour les triangles rectangles, c'est encore plus clair : un triangle rectangle de côtés 6 et 8 peut être dessiné sur quadrillage, et on voit qu'il occupe exactement la moitié d'un rectangle 6×8 (48 carreaux), donc son aire est 48÷2 = 24 cm².
Cette manipulation concrète aide énormément les élèves en difficulté.
Même les élèves à l'aise en calcul bénéficient de cette visualisation qui renforce la compréhension géométrique profonde.
Faire régulièrement des activités de dessin et comptage de carreaux. §6 - Applications et types de triangles Les triangles apparaissent dans de nombreux contextes : voiles de bateaux, toits de maisons, panneaux, drapeaux.
Proposer des problèmes variés : "Une voile triangulaire a une base de 4 mètres et une hauteur de 3 mètres.
Quelle est sa surface ?" Réponse : (4×3)÷2 = 6 m².
Il existe différents types de triangles (équilatéral, isocèle, rectangle, quelconque), mais la formule de l'aire est TOUJOURS la même : A = (base × hauteur) ÷ 2, quelle que soit la forme du triangle.
Pour un triangle rectangle, on peut choisir l'un des côtés perpendiculaires comme base et l'autre comme hauteur, ce qui simplifie : A = (côté1 × côté2) ÷ 2.
Pour un triangle équilatéral, le calcul de la hauteur nécessite le théorème de Pythagore (vu au collège), mais au CM2, on donne directement les mesures.
L'essentiel est que les élèves comprennent et appliquent correctement la formule générale.
💡 DIFFÉRENCIATION
🔹 Élèves en difficulté : Travailler exclusivement avec des triangles rectangles au début (les deux côtés perpendiculaires sont visibles, pas de hauteur "cachée").
Sur papier quadrillé, faire dessiner un rectangle, tracer la diagonale, compter les carreaux du triangle, PUIS montrer que la formule donne le même résultat.
Fournir des fiches avec la formule écrite : A = (base × hauteur) ÷ 2.
Décomposer en deux étapes : "1) Multiplie base par hauteur, 2) Divise par 2".
Utiliser des nombres pairs pour les hauteurs (division par 2 plus facile).
Exemple : base 8, hauteur 6 → 8×6=48, 48÷2=
24.
Manipulation : découper des rectangles en carton, tracer diagonale, constater deux triangles égaux.
Binôme avec tuteur.
Valoriser chaque progrès.
🔹 Élèves dans la norme : Entraînement avec différents types de triangles (rectangles, isocèles, quelconques).
Faire systématiquement identifier et dessiner la hauteur avant de calculer.
Alterner calculs directs et inversés (trouver base ou hauteur connaissant l'aire).
Exercices mélangés carré/rectangle/triangle pour bien différencier les formules.
Travail autonome avec correction collective.
Objectif : maîtrise complète de la formule des triangles.
🔹 Élèves avancés : Défis : "Un triangle et un rectangle ont la même aire (60 cm²).
Le rectangle mesure 10×6 cm.
Le triangle a une base de 15 cm.
Quelle est sa hauteur ?" (h = (60×2)÷15 = 8 cm).
Figures composées : "Aire d'un trapèze en le décomposant en rectangle + 2 triangles".
Recherche : "Comment calculer l'aire d'un triangle équilatéral de côté c ?" (nécessite Pythagore pour trouver h, puis A = (c × h)÷2).
Problèmes complexes multi-étapes.
Créer des énigmes géométriques pour la classe.
Anticiper les parallélogrammes (collège).
APPLICATION
2-3 min
📝 PROBLÈME :
Un voilier possède une voile triangulaire dont la base mesure 6 mètres et la hauteur 4 mètres.
Le propriétaire veut faire fabriquer une nouvelle voile rectangulaire qui aurait la même surface (aire) que la voile triangulaire actuelle, avec une longueur de 8 mètres.
Quelle devra être la largeur de cette nouvelle voile rectangulaire ?
✅ SOLUTION :
Pour résoudre ce problème, il faut d'abord calculer l'aire de la voile triangulaire, puis utiliser cette aire pour trouver la largeur du rectangle. Étape 1 : Calcul de l'aire de la voile triangulaire La voile triangulaire a une base de 6 m et une hauteur de 4 m.
A_triangle = (base × hauteur) ÷ 2 = (6 × 4) ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12 m² L'aire de la voile triangulaire est 12 m². Étape 2 : Calcul de la largeur du rectangle La nouvelle voile rectangulaire doit avoir la même aire (12 m²) avec une longueur de 8 m.
Pour un rectangle : A = L × l Donc : 12 = 8 × l D'où : l = 12 ÷ 8 = 1,5 m Réponse : La nouvelle voile rectangulaire devra avoir une largeur de 1,5 mètre (soit 1 m 50 cm) pour avoir la même surface que la voile triangulaire.
Vérification : Rectangle 8 m × 1,5 m → Aire = 8 × 1,5 = 12 m²