Matériel : Ardoises
👨🏫 VOUS : "Bonjour ! Aujourd'hui, problèmes d'optimisation d'aires.
Mais d'abord, synthèse.
Ardoise !" Calculs (8 calculs - Synthèse aires + révisions) : 1. "Aire d'un carré côté 7 cm"
👨🏫 VOUS : "Carré !" RÉPONSE ATTENDUE : 49 cm²
👨🏫 VOUS : "Oui ! 7 × 7 = 49 cm²." 2. "Aire d'un rectangle 9 cm × 4 cm"
👨🏫 VOUS : "Rectangle !" RÉPONSE ATTENDUE : 36 cm²
👨🏫 VOUS : "Parfait ! 9 × 4 = 36 cm²." 3. "Aire d'un triangle base 8 cm, hauteur 5 cm"
👨🏫 VOUS : "Triangle !" RÉPONSE ATTENDUE : 20 cm²
🧒 ZOÉ : "(8 × 5) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 cm² !"
👨🏫 VOUS : "Excellent Zoé !" 4. "Aire d'un disque rayon 4 cm (π ≈ 3)"
👨🏫 VOUS : "Disque !" RÉPONSE ATTENDUE : 48 cm²
🧒 LUCAS : "r² = 16, A = 3 × 16 = 48 cm² !"
👨🏫 VOUS : "Bravo Lucas !" 5. "2,5 × 4"
👨🏫 VOUS : "Décimaux !" RÉPONSE ATTENDUE : 10
👨🏫 VOUS : "Oui ! 10." 6. "Volume d'un cube arête 4 cm"
👨🏫 VOUS : "Géométrie 3D !" RÉPONSE ATTENDUE : 64 cm³
🧒 TOM : "V = c³ = 4 × 4 × 4 = 64 cm³ !"
👨🏫 VOUS : "Parfait Tom !" 7. "Figure en L : rectangle 5×3 + rectangle 4×
2.
Aire totale ?"
👨🏫 VOUS : "Décomposition !" RÉPONSE ATTENDUE : 23 cm²
🧒 MAYA : "15 + 8 = 23 cm² !"
👨🏫 VOUS : "Excellent Maya !" 8. "Circonférence d'un cercle diamètre 8 cm (π ≈ 3)"
👨🏫 VOUS : "Révision S29 !" RÉPONSE ATTENDUE : 24 cm
👨🏫 VOUS : "Oui ! C = 3 × 8 = 24 cm.
Bien différencié de l'aire !"
👨🏫 VOUS : "Magnifique ! Vous maîtrisez TOUTES les formules d'aires : carré, rectangle, triangle, disque.
Plus la décomposition ET les révisions 3D et circonférence.
Excellent !"
💡
DIFFÉRENCIATION :
• Difficulté : Calculs 1, 2, 5, 8.
Donner formules écrites.
• Norme : Tous les calculs.
• Avancés : "Jardin rectangulaire 12×8 m avec piscine circulaire rayon 3 m.
Aire de pelouse ?" (A_rect = 96, A_disque ≈ 27, pelouse ≈ 69 m²)
STRATEGIE
8 min
⚠️ PROBLÈMES D'OPTIMISATION
Optimiser une aire, c'est trouver la figure qui MAXIMISE (aire la plus grande) ou MINIMISE (aire la plus petite) l'aire pour un périmètre donné.
Exemple : avec 20 m de clôture, quelle forme de jardin donne la plus grande surface ? Ces problèmes mobilisent raisonnement mathématique avancé et préparent la 6ème.
INTRODUCTION (1 min)
👨🏫 VOUS : "Aujourd'hui, nous résolvons des problèmes d'OPTIMISATION.
Objectif : trouver la plus grande aire possible avec une contrainte."
🧒 LÉON : "Une contrainte ?"
👨🏫 VOUS : "Oui, par exemple : avec 20 mètres de clôture, comment faire le plus grand jardin possible ?"
PROBLÈME 1 : Carré vs Rectangle (5 min)
👨🏫 VOUS : "Problème : Avec 20 m de clôture (périmètre = 20 m), on peut faire un jardin carré OU rectangulaire.
Quelle forme donne la plus grande aire ?"
Au tableau en NOIR : Périmètre = 20 m Option A : Jardin CARRÉ Option B : Jardin RECTANGLE 6 m × 4 m Laquelle a la plus grande aire ?
👨🏫 VOUS : "Option A : carré.
Si P = 20 m, quel est le côté ?"
🧒 NOAH : "P = 4 × c, donc 20 = 4 × c, c = 5 m !"
👨🏫 VOUS : "Parfait Noah ! Carré de côté 5 m.
Aire ?"
🧒 CLASSE : "A = 5 × 5 = 25 m² !"
Au tableau en VERT : Option A (carré 5×5) : Aire = 25 m²
👨🏫 VOUS : "Option B : rectangle 6 m × 4 m.
Vérifions le périmètre."
🧒 SARAH : "P = 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 m.
OK !"
👨🏫 VOUS : "Bien Sarah ! Et l'aire ?"
🧒 CLASSE : "A = 6 × 4 = 24 m² !"
Au tableau en VERT : Option B (rectangle 6×4) : Aire = 24 m²
👨🏫 VOUS : "Comparons : carré 25 m², rectangle 24 m².
Lequel gagne ?"
🧒 CLASSE : "Le carré !"
👨🏫 VOUS : "Exact ! Avec le MÊME périmètre, le carré a une aire PLUS GRANDE.
C'est une règle mathématique : à périmètre égal, le carré maximise l'aire !"
Au tableau en ROUGE : CONCLUSION : À périmètre égal, le CARRÉ a la plus grande aire.
PROBLÈME 2 : Aire maximale avec contrainte
👨🏫 VOUS : "Autre problème.
On veut un jardin rectangulaire de 12 m × 8 m MAIS avec une allée de 1 m de large tout autour à l'INTÉRIEUR.
Aire de jardin sans l'allée ?"
Au tableau en NOIR : Jardin extérieur : 12 m × 8 m Allée : 1 m de large tout autour (intérieur) Aire jardin utilisable = ?
👨🏫 VOUS : "L'allée enlève 1 m de chaque côté.
Dimensions intérieures ?"
🧒 EMMA : "Longueur : 12 - 2 = 10 m (1 m de chaque côté) !"
👨🏫 VOUS : "Oui Emma ! Et largeur ?"
🧒 TOM : "8 - 2 = 6 m !"
Au tableau en VERT : Dimensions intérieures : 10 m × 6 m
👨🏫 VOUS : "Aire intérieure ?"
🧒 CLASSE : "A = 10 × 6 = 60 m² !"
Au tableau en VERT : Aire jardin utilisable = 60 m²
👨🏫 VOUS : "Bravo ! Le jardin utilisable fait 60 m², alors que le jardin total fait 96 m².
L'allée occupe 36 m² !"
SYNTHÈSE AU TABLEAU (encadré)
Au tableau (encadré) :
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OPTIMISATION D'AIRES
RÈGLE 1 : À périmètre égal,
?? Le CARRÉ maximise l'aire
RÈGLE 2 : Avec contraintes,
?? Ajuster dimensions selon contraintes
?? Calculer aire finale
Exemple : P = 20 m
?? Carré 5×5 : A = 25 m²
?? Rectangle 6×4 : A = 24 m²
?? Carré GAGNE !
Méthode : Tester plusieurs options,
comparer les aires
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PRATIQUE GUIDÉE (1 min)
👨🏫 VOUS : "Avec 16 m de clôture, on fait un carré.
Côté et aire ?"
🧒 CHLOÉ : "c = 16 ÷ 4 = 4 m.
A = 4 × 4 = 16 m² !"
👨🏫 VOUS : "Parfait Chloé !"
VERBALISATION COLLECTIVE (1 min)
👨🏫 VOUS : "Répétez après moi : À périmètre égal, le carré a la plus grande aire."
🧒 CLASSE : "À périmètre égal, le carré a la plus grande aire."
👨🏫 VOUS : "Pour optimiser, je compare les différentes options."
🧒 CLASSE : "Pour optimiser, je compare les différentes options."
👨🏫 VOUS : "Excellent ! Raisonnement mathématique avancé !"
💡
DIFFÉRENCIATION :
• Difficulté : Problème 1 uniquement avec calculs guidés étape par étape.
• Norme : Les deux problèmes.
• Avancés : "Avec 24 m de clôture, comparer : carré, rectangle 8×4, rectangle 10×
2.
Quelle forme a la plus grande aire ?" (Carré 6×6 = 36 m² gagne sur 32 m² et 20 m²)
APPLICATION
2-3 min
👨🏫 VOUS : "Problème final.
Un fermier a 40 m de clôture pour entourer un enclos carré pour ses poules.
Quelle sera l'aire de l'enclos ? Ardoise.
Top !" [Les élèves calculent] RÉPONSE ATTENDUE : 100 m²
Correction :
👨🏫 VOUS : "Réponse : 100 m².
Léo, explique !"
🧒 LÉO : "Enclos carré, périmètre 40 m.
Côté = 40 ÷ 4 = 10 m.
Aire = 10 × 10 = 100 m² !"
👨🏫 VOUS : "PARFAIT Léo ! Méthode en 2 étapes impeccable.
L'enclos fait 100 m².
Et comme c'est un carré, c'est la forme optimale pour cette longueur de clôture !"
👨🏫 VOUS : "Cette semaine, vous avez maîtrisé la décomposition de figures, l'aire du disque A = π × r², et l'optimisation.
La semaine prochaine, nous passons à la PROPORTIONNALITÉ AVANCÉE avec échelles et vitesses.
Excellent travail !"
💡
DIFFÉRENCIATION :
• Difficulté : "Enclos carré, périmètre 20 m.
Aire ?" (Plus simple : c = 5, A = 25 m²)
• Norme : Problème tel quel.
• Avancés : "Le fermier hésite : carré 10×10 OU rectangle 12×8 ? Lequel donne la plus grande aire ?" (Carré 100 m² > Rectangle 96 m²)